Question

如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）2（）

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。
∴CE=CF。
（2）解：连接AC，交EF于G点，
∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF。
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=。
设BE=x，则AB=BC=x+，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即（x+）²+x²=4，解得x=（负值舍去）。
∴AB=。
∴正方形ABCD的周长为4AB=2（）。
（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF。
（2）连接AC，交EF与G点，由△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，从而求出正方形的周长。