Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一问可求得BQ的值，从而求得l=3-

4m-m2

3

，所以可得到当m=2时，l有最小值求出即可．

解答：（1）证明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
又∵∠OAB=∠PBQ=90°，
∴△OAP∽△PBQ，
则

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA•BQ=AP•BP．

（2）解：∵OA•BQ=AP•BP，
即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

，
=

1

3

（m²-4m+4）+

5

3

，
=

1

3

（m-2）²+

5

3

，
∴当m=2时，l有最小值

5

3

．

点评：此题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定、矩形的性质及二次函数等知识点的综合运用，根据已知得出△OAP∽△PBQ是解题关键．