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11.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象经过点A(4,0),C(0,2)
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,点E是抛物线上的第一象限的点,求S△ACE的最大值,并求S△ACE取得最大值时x的值;
(3)如图2,在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标,若不存在请说明理由.

分析 (1)待定系数法求解可得;
(2)作ED⊥y轴,设点E(x,-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2),表示出DE、DO、DC的长,根据S△ACE=S梯形AODE-S△AOC-S△DCE列出函数解析式并配方成顶点式,从而得出最值情况;
(3)若要使△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形,则点P在线段AC的中垂线上,据此可先求出线段AC中垂线的解析式,结合二次函数解析式从而求得中垂线与抛物线的交点坐标,再根据勾股定理逆定理判断此时的交点能否使△ACP是以AC为斜边的直角三角形,从而得出答案.

解答 解:(1)将点A(4,0),C(0,2)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c,
得:$\left\{\begin{array}{l}{-8+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$,
∴抛物线解析式为:y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2;

(2)如图1,过点E作ED⊥y轴于点D,

设点E(x,-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2),
则DE=x,DO=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2,DC=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2-2=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x,
∴S△ACE=S梯形AODE-S△AOC-S△DCE
=$\frac{1}{2}$(x+4)(-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2)-$\frac{1}{2}$x(-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x)-$\frac{1}{2}$×4×2
=-x2+4x
=-(x-2)2+4,
则当x=2时,S△ACE取得最大值4;

(3)不存在,
如图2,

∵点A(4,0)、C(0,2),
∴AC的中点F的坐标为(2,1),
设BC所在直线解析式为y=kx+b,
将点A(4,0)、C(0,2)代入,得:$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,
∴AC的中垂线的解析式为y-1=2(x-2),即y=2x-3,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}}\\{y=\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}}\\{y=-\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$,
若点P坐标为($\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$,$\sqrt{41}$-4),
∵PA2+PC2=(4-$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$)2+(4-$\sqrt{41}$)2+(0-$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$)2+(2-$\sqrt{41}$+4)2=175-25$\sqrt{41}$,AC2=20,
∴PA2+PC2≠AC2,即△ABP不是等腰直角三角形,舍去;
若点P坐标为($\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$,-$\sqrt{41}$-4),
∵PA2+PC2=(4-$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$)2+(4+$\sqrt{41}$)2+(0-$\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$)2+(2+$\sqrt{41}$+4)2=175+25$\sqrt{41}$,AC2=20,
∴PA2+PC2≠AC2,即△ABP不是等腰直角三角形,舍去;
综上,这样的点P不存在.

点评 本题主要考查二次函数的综合运用,熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键.

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