Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，将一直角△DEF纸片平放在△ACB所在的平面上，且使直角顶点重合于点D（C始终在△DEF内部），设纸片的两直角边分别与AC、BC相交于M、N．
（1）当∠A=∠NDB=45°时，四边形MDNC的面积为

 

；
（2）当∠A=45°，∠NDB≠45°时，四边形MDNC的面积是否与（1）相同？说明理由；
（3）当∠A=∠NDB=30°时，四边形MDNC的面积为

 

；
（4）当∠A=30°，∠NDB≠30°时，四边形MDNC的面积是否发生变化？若不发生变化（即与（3）相同），说明理由，若发生变化，设四边形MDNC的面积为S，BN为x，求S与x之间的关系．

Answer 1

分析：（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，求出AD=DB，再利用勾股定理求出MD=ND的长，在求证出四边形MDNC为正方形即可．
（2）连接CD，易证△MDA≌△NDC，然后可得S_{四边形MDNC}=

1

2

×2×2即可．
（3）根据∠A=∠NDB=30°，求证四边形MDNC为矩形，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出MD，再利用勾股定理求出DN，然后即可求出四边形MDNC的面积．
（4）过D分别作DP⊥AC于P，DR⊥BC于R，求证△DPM∽△DRN，利用其对应边成比例求得RN=

3

PM，RN=1-x，PM=

1-x

3

，然后即可求得四边形MDNC的面积．

解答：解：
（1）如图1，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，
∴AD=DB=2，
∵∠A=∠NDB=45°，
∴AC∥DE，∠A=∠B=45°，
∴MD=ND，
∴MD=ND=

2

，
∴四边形MDNC为正方形．
∴四边形MDNC的面积为

2

×

2

=2；

（2）相同．
如图2，连接CD，
∵∠A=45°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴AD=BD=CD，
∴∠ADM+∠CDM=90°，∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠MDA=∠CDN，
∠A=∠DCN=45°，
∴△MDA≌△NDC，
∴S_{四边形MDNC}=S_△MDC+S_△DNC=S_△ADC=2×

1

2

×2=2；

（3）如图3，∵∠A=∠NDB=30°，
∴四边形MDNC为矩形，
∴MD=1，DN=

3

，
∴S_矩形MDNC=MD•DN=1×

3

=

3

；

（4）发生变化．
当∠A=30°，∠BDN≠30°时，如图4，过D分别作DP⊥AC于P，DR⊥BC于R，
∵∠PDR=∠FDE=90°，
∴∠PDM=∠NDR，
∴△DPM∽△DRN，
∴

RN

PM

=

DR

DP

=

3

1

∴RN=

3

PM，RN=1-x，PM=

1-x

3

，
∴∠BDN＜30°时，S=

3

+

1

2

×

3

（1-x）-

1

2

×

1-x

3

×1=

4

3

3

-

3

3

x，
或∠BDN＞30°时，S=

3

-

1

2

×

3

（1-x）+

1

2

×

1-x

3

×1=

3

3

+

3

3

x．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合性较强，尤其是（4）有一定的拔高难度，属于难题．