Question

（2004•呼和浩特）如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b²+c²=2a²+16a+14与bc=a²-4a-5，那么a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据b，c关系就可以得到含有a的不等式，b²+c²＞0即2a²+16a+14＞0；bc≤，则2a²+16a+14≥2（a²-4a-5），解这两个关于a的不等式组成的不等式组就可以求出a的范围．
解答：解：∵b²+c²=2a²+16a+14，bc=a²-4a-5，
∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²-4a-5）=4a²+8a+4=4（a+1）²，
即有b+c=±2（a+1）．
又bc=a²-4a-5，
所以b，c可作为一元二次方程x²±2（a+1）x+a²-4a-5=0③的两个不相等实数根，
故△=4（a+1）²-4（a²-4a-5）=24a+24＞0，
解得a＞-1．
若当a=b时，那么a也是方程③的解，
∴a²±2（a+1）a+a²-4a-5=0，
即4a²-2a-5=0或-6a-5=0，
解得，a=或a=-．
所以a的取值范围为a＞-1且a≠-且a≠．
点评：本题主要利用了不等式的性质：（b-c）²≥0，可得到b²+c²≥2bc．通过b，c的关系，转化为含a的不等式是解决本题的关键．