Question

9．如图，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\sqrt{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点D（0，-$\sqrt{3}$）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，将△BPQ′沿直线BD平移，记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″，在平移过程中，设直线P′B′与x轴交于点E．则是否存在这样的点E，使得△B′EQ″为等腰三角形？若存在，求此时OE的长．

Answer 1

分析 （1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，分别过D、B作x轴，y轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．根据S_△PDB=S_△PDK+S_△PBK-S_△DKB，构建二次函数求出满足条件的点Q坐标，如图2中，作Q关于y轴的对称点Q′，将Q′向左平移$\frac{3}{2}$个单位得到Q″，连接PQ″交抛物线对称轴于M，此时PM+MN+NQ最短；
（3）由（2）可知直线PB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线BD的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，易证∠PBQ=30°，∠DBO=60°，PB⊥BD．在图3～图6中，分三种情形分别求解即可；

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\sqrt{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-4，0），B（1，0），C（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

（2）如图1中，分别过D、B作x轴，y轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

S_△PDB=S_△PDK+S_△PBK-S_△DKB
=$\frac{1}{2}$•1•（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•（1-m）-$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$•1
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（m+3）²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜0，
∴m=-3时，△PBD的面积最大，此时P（-3，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），Q（-3，0）．
如图2中，作Q关于y轴的对称点Q′，将Q′向左平移$\frac{3}{2}$个单位得到Q″，连接PQ″交抛物线对称轴于M，此时PM+MN+NQ最短．

易证四边形MNQ′Q″是平行四边形，
∴NQ=NQ′=Q″M，
∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN，
∵Q″（$\frac{1}{2}$，0），
∴PQ″=$\sqrt{（3+\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{921}}{6}$，
∴PM+MN+NQ的最小值为$\frac{\sqrt{921}}{6}$+$\frac{3}{2}$．

（3）如图3中，

由（2）可知直线PB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线BD的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
易证∠PBQ=30°，∠DBO=60°，PB⊥BD．
①当点Q″与Q重合时，∵∠B′EQ=∠QB′E=30°，
∴EQ=B′Q″=4，
∴OE=QE+OQ=7．
②如图4中，当B′E=B′Q″时作B′N⊥x轴于N．

∵B′E=B′Q″=4，∠B′EN=30°，
∴B′N=$\frac{1}{2}$B′E=2，EN=2$\sqrt{3}$，
∴B′（$\frac{-2\sqrt{3}+3}{3}$，-2），
∴OE=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-1．
③如图5中，当EQ″=EB′时，作B′N⊥x轴于N．

易知EP′=EQ″=EB′=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，B′N=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EN=2，
∴B′（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴EO=$\frac{5}{3}$．
④如图6中，当B′E=B′Q″时，

易知B′E=B′Q″=4，
在Rt△BEB′中，BE=EB′÷cos30°=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=OB+BE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+1，
综上所述，满足条件的OE的值为7或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-1或$\frac{5}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$+1．

点评 本题考查二次函数综合题、平移变换、翻折变换、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用的长解决最短问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．