试题分析:(1)由已知中点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,3),对称轴为直线x=-1,得出B点坐标,进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式;
(2)由已知中C点坐标,再假设出P点坐标,可求出直线PC解析式,求出R点坐标,进而根据S
△PAC=2S
△DAC,可得点P的坐标;
(3)过点C作CH⊥DE交DE于点H,设AC交对称轴于点G,AM交y轴于点N,由∠MAC=∠ADE,可得N点坐标,进而求出CN的方程,联立直线与抛物线方程可得M点坐标.
(1)由对称轴x=-1,A(-3,0),可得B点坐标(1,0)
设y=a(x+3)(x-1),把C(0,3)代入得,4=-8a,
解得:a=-1,
所求解析式为:y=-x
2-2x+3;
(2)如图:y=-x
2-2x+3=-(x+1)
2+4,顶点D(-1,4),
由A(-3,0)、C(0,3),得直线AC解析式为y=x+3;
设对称轴交AC于点G,则G(-1,2),∴S
△DAC=
(4-2)×3=3,
设P点(m,-m
2-2m+3),
设PC解析式为:y=qx+p,
∴
,
解得:k=-m-2,
∴PC解析式为:y=(-m-2)x+3,
设PC与x轴交于点R,
∴R(
,0),
∴AR=3+
,
∴S
△APR+S
△CAR=
(3+
)×(m
2+2m-3)+
×(3+
)×3=
+
,
则S
△PAC=
+
,
由S
△PAC=2S
△DAC,∴
+
=2×3,
解得:m
1=-4,m
2=1,
把m
1=-4,m
2=1分别代入y=-x
2-2x+3中,
∴y
1=-5,y
2=0,
∴P点坐标为(-4,-5)或(1,0);
(3)由以上可得出:D(-1,4),C(0,3),E(-1,0),
如备用图:过点C作CH⊥DE交DE于点H,
∴H(-1,3),CH=DH=1,∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°,
∴CD=
,AC=3
,△ACD为直角三角形,且tan∠DAC=
.
设AC交对称轴于点G,AM交y轴于点N,
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°,∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°,∠ADE=∠CAM,∠DAC=∠MAO,
∴tan∠MAO=
.
∵A(-3,0),
∴ON=1,即N(0,1),
设直线CN解析式为:y=dx+h
∴
,
解得:
,
∴直线CN解析式为y=
x+1,
联立方程
得:x=-3(舍)或x=
,
∴点M的坐标为(
,
).