Question

14．已知BM、CN分别是△A₁BC的两个外角的角平分线，BA₂、CA₂分别是∠A₁BC和∠A₁CB的角平分线，如图①；BA₃、CA₃分别是∠A₁BC和∠A₁CB的三等分线（即∠A₃BC=$\frac{1}{3}$∠A₁BC，∠A₃CB=$\frac{1}{3}$∠A₁CB），如图②；依此画图，BA_n、CA_n分别是∠A₁BC和∠A₁CB的n等分线（即∠A_nBC=$\frac{1}{n}$∠A₁BC，∠A_nCB=$\frac{1}{n}$∠A₁CB），n≥2，且n为整数．
（1）若∠A₁=70°，求∠A₂的度数；
（2）设∠A₁=α，请用α和n的代数式表示∠A_n的大小，并写出表示的过程；
（3）当n≥3时，请直接写出∠MBA_n+∠NCA_n与∠A_n的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理，即可得到∠A₁BC+∠A₁CB的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠A₂BC+∠A₂CB的度数，最后根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理，即可得到∠A₁BC+∠A₁CB的度数，再根据BA_n、CA_n分别是∠A₁BC和∠A₁CB的n等分线，即可得到∠A_nBC+∠A_nCB的度数，最后根据三角形内角和定理进行计算即可；
（3）根据∠MBA_n+∠NCA_n=$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁）+∠A_n，以及∠A₁=n∠A_n-180°n+180°，即可得到∠MBA_n+∠NCA_n=90°n-$\frac{n-2}{2}$∠A_n，进而变形得出2（∠MBA_n+∠NCA_n）+（n-2）∠A_n=180°n．

解答 解：（1）∵∠A₁=70°，
∴∠A₁BC+∠A₁CB=180°-70°=110°，
∵BA₂、CA₂分别是∠A₁BC和∠A₁CB的角平分线，
∴∠A₂BC+∠A₂CB=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∴∠A₂=180°-55°=125°．

（2）在△A₁BC中，∠A₁BC+∠A₁CB=180°-α，
∵∠A_nBC=$\frac{1}{n}$∠A₁BC，∠A_nCB=$\frac{1}{n}$∠A₁CB，
∴∠A_nBC+∠A_nCB=$\frac{1}{n}$（∠A₁BC+∠A₁CB）=$\frac{1}{n}$（180°-α），
∴∠A_n=180°-（∠A_nBC+∠A_nCB）=180°-$\frac{1}{n}$（180°-α）；

（3）2（∠MBA_n+∠NCA_n）+（n-2）∠A_n=180°n．
理由：如图②，∵BM、CN分别是△A₁BC的两个外角的角平分线，
∴∠MBE=$\frac{1}{2}$∠A₁BE=$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁BC），
∠NCF=$\frac{1}{2}$∠A₁CF=$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁CB），
∴∠MBA_n+∠NCA_n=360°-（∠MBE+∠NCF）-（∠A_nBC+∠A_nCB）
=360°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁BC）-$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁CB）-（180°-∠A_n）
=$\frac{1}{2}$（∠A₁BC+∠A₁CB）+∠A_n
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A₁）+∠A_n
由（2）可得，∠A_n=180°-$\frac{1}{n}$（180°-∠A₁），
∴∠A₁=n∠A_n-180°n+180°，
∴∠MBA_n+∠NCA_n=$\frac{1}{2}$（180°-n∠A_n+180°n-180°）+∠A_n
=90°n-$\frac{n-2}{2}$∠A_n
∴2（∠MBA_n+∠NCA_n）+（n-2）∠A_n=180°n．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和为180°，解答的关键是沟通三角形的外角和内角的数量关系．