如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 .
考点:
反比例函数综合题.
分析:
由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形;根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E(a,),D(b,),由双曲线的对称性可以求得ab=3;最后,将其代入直线AD的解析式即可求得a的值.
解答:
解:如图,∵∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E,
∴∠BAC=∠ABC=45°,且可设E(a,),D(b,),
∴C(a,0),B(a,2),A(2﹣a,0),
∴易求直线AB的解析式是:y=x+2﹣a.
又∵△BDE∽△BCA,
∴∠BDE=∠BCA=90°,
∴直线y=x与直线DE垂直,
∴点D、E关于直线y=x对称,则=,即ab=3.
又∵点D在直线AB上,
∴=b+2﹣a,即2a2﹣2a﹣3=0,
解得,a=,
∴点E的坐标是(,).
故答案是:(,).
点评:
本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式.解题时,注意双曲线的对称性的应用.
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