Question

【题目】如图，直线 y＝－2x＋4分别与 y 轴、x 轴交于点 A、点 B，点 C 的坐标为(－2，0)，D 为线段 AB上一动点，连接 CD 交 y 轴于点 E．

（1）求出点 A、点 B 的坐标；

（2）若，求点 D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点 N 在 x 轴上，直线 AB 上是否存在点 M，使以 M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出 M 点的坐标;若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(0，4)，B(2，0) ；（2）D(1，2)；（3）存在，M( , )或 M( ,-)．

【解析】

(1)先令求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出A、B两点的坐标；

(2)根据题意得，利用三角形面积公式可求得=2，从而求得点D的坐标；

(3)利用待定系数法求得直线CD的解析式，得到点E的坐标，分点N在线段OB上、点N在OB延长线上两种情况讨论，求得直线MN的解析式，利用求得两直线交点的方法即可求得点M的坐标．

(1)对于直线 y=-2x+4，

令，则，令，则，

∴A、B两点的坐标分别为(0，4)、(2，0)；

(2)∵，

∴，

∴×4×yD=×4×2，

∴=2，

∴点D的坐标为(1，2)；

(3)设直线CD的解析式为，

把点C、D的坐标(-2，0)、(1，2)代入得：，

解得：，

∴直线CD的解析式为，

令，则，

∴点E的坐标为(0，)；

①当点N在线段OB上时，DENM为平行四边形，如图：

过E作EF∥OB交AB于点F，

∵点F在直线 y=-2x+4上，

∴点F的纵坐标与点E的纵坐标相等，

∴=-2x+4，

∴点F的坐标为(，)，

∵DENM为平行四边形，

∴EN∥DM，EN=DM，DE=MN，MN∥CD，

∵EF∥OB，

∴四边形EFBN也为平行四边形，

∴BN=EF=，

∴ON=2-=，

∴点N的坐标为(，0)，

设直线MN的解析式为，

将点N的坐标为(，0)代入得：，

∴直线MN的解析式为，

解方程组得：，

∴点M的坐标为(，)；

②当点N在OB延长线上时，DENM为平行四边形，如图：

同理：BN=EF=，

∴ON=2+=，

∴点N的坐标为(，0)，

设直线MN的解析式为，

将点N的坐标为(，0)代入得：，

∴直线MN的解析式为，

解方程组得：，

∴点M的坐标为(，)；

综上，点M的坐标为(，)或(，) ．