Question

【题目】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE=CF，

（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）若∠ABC=∠EAC，AE=4，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC=2.

【解析】

（1）由BE=CF，则可证得∠BAE=∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．

（1）证明：∵BE=CF，
∴ ，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAC+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACD，
∴∠BAE+∠E=90°，
∴∠ABE=90°，
∴ AE是⊙O的直径 .
（2）解：连结OC，

∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO=∠AOC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∵AE=4，
∴AO=CO=2，
∴AC=.