Question

在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（1，-4），交x轴于A、B两点（A点在B点的左边），交y轴于点C，已知A、B两点之间的距离为4．
（1）求这个抛物线的解析式及C点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点间的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上方平行于x轴的一条直线y=m交抛物线于M、N两点，在x轴上是否存在一点Q，使△QMN为等腰直角三角形？若存在，求出相对应的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得出A，B两点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）根据抛物线的对称性可得|PB-PC|=|PA-PC|，即P、C、A三点共线的时候这个差最大，得点P坐标为（1，-6）；
（3）先假设存在一点Q，使△QMN为等腰直角三角形，再按此条件计算，分类讨论可得出结果．

解答：解：（1）根据题意，A（-1，0），B（3，0），顶点（1，-4）
∴解方程组：

a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：a=1，b=-2，c=-3．
∴这个抛物线的解析式：y=x²-2x-3．
∵C点是抛物线与y轴的交点．
∴C（0，-3）；

（2）∵P在抛物线的对称轴上，
又∵A、B是关于抛物线的对称轴对称，
∴PB=PA，
即：|PB-PC|=|PA-PC|，（根据对称性，求P到B和C的距离之差就是求P到A和C的距离之差）
∴P、C、A三点共线的时候这个差最大．
∴连接AC并延长与抛物线对称轴交于一点P即为所求．
∴根据A、C两点求出AC的方程：y=-3x-3
∴AC与对称轴x=1的交点P坐标为（1，-6）．

（3）假设存在一点Q，使△QMN为等腰直角三角形，
分三种情况：MQ=MN与NQ=MN时不成立，
若QN=QM，
则可得Q₁（2，0），
∴m=3．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．