Question

己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；
（2）首先得出∠ADB=90，再根据∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，从而得出PA=PF；
（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．
解答：（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；

（3）解：∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴=，
由题意可知圆的半径为5，
∴AB=10，
∴===，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD==，
即：tan∠ABF=．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证明PD=PA以及PD=PF，得出答案是解决问题的关键．