Question

13．在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，AE是∠CAB的交平分线，AE分别交CD、BC于点F、E，过点E作EG⊥AB于点G．
求证：CF=EG．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质，可得EC=EG，易证△CEF是等腰三角形，即可得CF=CE=EG，由此即可解决问题．

解答 证明：如图1中，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC⊥CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，
∴∠3=∠4，EC=EG，
∵CD⊥AB，
∴CD∥EG，∠CFE=∠AFD=90°-∠3，
∵∠AEC=90°-∠3，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴CF=EG．

点评 此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．