Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点F．

(1)连接AC，AD，求证：∠DAC+∠ACF＝180°；

(2)若∠ABD＝2∠BDC，

①求证：CF是⊙O的切线；

②当BD＝6，tanF＝时，求CF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②CF＝．

【解析】

（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由CE⊥DB证得AD∥CF，根据平行线的性质即可证得结论；

（2）①连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；

②由CF∥AD，证出∠BAD=∠F，得出tan∠BAD=tan∠F=，求出AD=BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=，即可求出CF．

(1)证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥DB，

∵CE⊥DB，

∴AD∥CF，

∴∠DAC+∠ACF＝180°；

(2)连接OC．如图：

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

又∵∠3＝∠1+∠2，

∴∠3＝2∠1．

又∵∠4＝2∠∠BDC，∠BDC＝∠1，

∴∠4＝2∠1，

∴∠4＝∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC为⊙O的半径，

∴CF为⊙O的切线；

②∵CF∥AD，

∴∠BAD＝∠F，

∴tan∠BAD＝tanF＝＝，

∵BD＝6，

∴AD＝BD＝8，

∴AB＝＝10，

∴OB＝OC＝5，

∵OC⊥CF，

∴∠OCF＝90°，

∴tanF＝＝，

解得：CF＝．