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    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

    【答案】见解析

    【解析】

    作BD的垂直平分线交AB于O，再以O点为圆心，OB为半径作圆即可；接着证明OD∥BC得到∠ODC＝90°，然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线．

    解：如图，⊙O为所作．

    证明：连接OD，如图，

    ∵BD平分∠ABC，

    ∴∠CBD＝∠ABD，

    ∵OB＝OD，

    ∴∠OBD＝∠ODB，

    ∴∠CBD＝∠ODB，

    ∴OD∥BC，

    ∴∠ODA＝∠ACB，

    又∠ACB＝90°，

    ∴∠ODA＝90°，

    即OD⊥AC，

    ∵点D是半径OD的外端点，

    ∴AC与⊙O相切．

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    【题目】如图，在中，，，是线段延长线上一点，连接，过点作于.

    （1）求证：.

    （2）将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接.

    ①依题意补全图形；

    ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.

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    【题目】某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

    （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

    （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

    （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y（件）的取值范围．

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    【题目】如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据，，）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）．

    （1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；

    （2）二次函数的图象经过点B（m，e），C（3﹣m，e）且对任意实数x，函数值y都不小于﹣．

    ①求此时二次函数的解析式；

    ②若次函数与y轴交于点D，在对称轴上存在一点P，使得PA+PD有最小值，求点P坐标及PA+PD的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线.

    （1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线的“方点”的坐标；

    （2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与轴相交于、两点（在左侧），与轴相交于点，连接.若点是直线上方抛物线上的一点，求的面积的最大值；

    （3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

    莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.

    如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

    下面是该定理的证明过程（部分）：

    延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

    ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

    ∴△MDI∽△ANI，

    ∴，

    ∴①，

    如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

    ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

    ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

    ∴∠DBE=∠IFA，

    ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

    ∴△AIF∽△EDB，

    ∴，∴②，

    任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；

    (2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

    (3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

    (4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=8，DF=3FC，则BC=__________.

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