Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，点M为△ABC外一点，且∠AMB=60°，若CM平分∠AMB．求证：AM+BM=$\sqrt{3}$CM．

Answer 1

分析 如图作CE⊥MB于E，CF⊥MA于F．首先证明Rt△CME≌Rt△CMF，推出FM=EM，再证明△ACF≌△BCE，推出AF=BE，推出MA+MB=（AF+FM）+（EM-EB）=2EM，在Rt△CME中，∠CME=30°，可得cos30°=$\frac{EM}{CM}$，推出$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{EM}{CM}$，即2EM=$\sqrt{3}$CM，即可推出AM+BM=$\sqrt{3}$CM．

解答 证明：如图作CE⊥MB于E，CF⊥MA于F．
∵CM平分∠AMB，
∴CF=CE，
在Rt△CME和Rt△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CME≌Rt△CMF，
∴FM=EM，
∵∠EMF+∠ECF=360°-90°-90°=180°，∠EMF=60°，
∴∠ECF=∠ACB=120°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\\{∠AFC=∠E=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，
∴MA+MB=（AF+FM）+（EM-EB）=2EM，
∵在Rt△CME中，∠CME=30°，
∴cos30°=$\frac{EM}{CM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{EM}{CM}$，
∴2EM=$\sqrt{3}$CM，
∴AM+BM=$\sqrt{3}$CM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．