Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：

①△CMP是直角三角形；

②点C、E、G不在同一条直线上；

③PC=MP；

④BP=AB；

⑤PG=2EF．

其中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号填在横线上）．

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】

由折叠的性质，可得∠DMC=∠EMC，CD=CE，∠AMP=∠EMP，AB=GE，由平角的定义可求∠PME+∠CME=×180°=90°，可判断①正确；由折叠的性质可得∠GEC=180°，可判断②正确；设AB=x，则AD=2x，由勾股定理可求MP和PC的长，即可判断③错误，先求出PB=x，即可判断④正确，由平行线分线段成比例可求PG=2EF，可判断⑤正确，即可求解．

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠DMC=∠EMC，CD=CE，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠AMP=∠EMP，AB=GE，

∵∠AMD=180°，

∴∠PME+∠CME=×180°=90°，

∴△CMP是直角三角形；故①正确；

∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，

∴∠D=∠MEC=90°，

∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，

∴∠MEG=∠A=90°，

∴∠GEC=180°，

∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；

∵AD=2AB，

∴设AB=x，则AD=2x，

∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

∴DM=AD=x，

∴CM= x，
∵∠PMC=90°，MN⊥PC，
∴CM2=CNCP，
∴CP= x，
∴PN=CP-CN=x，
∴PM= x，
∴ ，
∴PC=PM，故③错误，
∵PC= x，
∴PB=BC-PC=2x-x=x，
∴ ，
∴BP=AB，故④正确，
∵∠MEC=∠G=90°，
∴PG∥ME，
∴ ，
∵AB=GE=CD=CE，
∴CG=2CE，
∴PG=2EF，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．