Question

17．如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6$\sqrt{2}$，其中正确判断的序号是②．

Answer 1

分析 观察函数图象，利用抛物线在x轴上所对应的自变量的取值范围可对①进行判断；确定点Q比点P离对称轴的距离要大，则根据二次函数的性质可对②进行判断；当m=2时，先确定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股计算出DE=$\sqrt{2}$，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到D′（-1，4），E′（2，-3），根据对称的性质得FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根据两点之间线段最短可判断此时四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出D′E′=$\sqrt{58}$，于是可对③进行判断．

解答 解：由抛物线的性质，当x＞时，y＞0，所以①错误；
因为x₁＜1＜x₂，所以点P和Q在对称轴两侧，而x₁+x₂＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y₁＞y₂，所以②正确；
当m=2时，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE=$\sqrt{2}$，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，则D′（-1，4），E′（2，-3），
∴FD=FD′，GE=GE′，
∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，
∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′=$\sqrt{58}$，
∴四边形EDFG周长的最小值为$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，所以③错误．
故答案为②．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决方法，熟知抛物线的性质是解本题的关键，确定出四边形EDFG的周长最小值是解本题的难点．