Question

12．（1）如图①，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠C＞∠B，试探索∠DAE与∠B、∠C的关系；
（2）当图①变为图②时，（1）中的结论是否成立？为什么？
（3）当图②变为图③时，∠DFE与∠B、∠C的关系怎样？（直接写出结论）
（4）当图③变为图④时，∠DFE与∠B、∠C的关系怎样？（直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）由三角形高的定义得到∠CDA=90°-∠C，再由角平分线定义得到∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，接着根据三角形内角和得∠CAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），然后计算∠CAE-∠CAD即可得到∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）；
（2）利用互余得到∠CAD=∠ACB-90°，与（1）一样可得∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠ACB），然后计算∠CAE+∠CAD即可得到∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）；
（3）作AH⊥BC于H，如图③，由（2）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B），然后根据平行线的性质易得∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）；
（4）AH⊥BC于H，如图④，和（3）方法一样可得∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．

解答 解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∴∠CDA=90°-∠C，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）；
（2）成立．
理由如下：∠ADC=90°，
∴∠ACB=90°+∠CDA，
∴∠CAD=∠ACB-90°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠ACB），
∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠ACB）+（∠ACB-90°）=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）；
（3）作AH⊥BC于H，如图③，由（2）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）；
∵FD⊥BC，
∴FD∥AH，
∴∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）；
（4）AH⊥BC于H，如图④，与（3）一样可得∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的性质．准确识别图形是解题的关键．