Question

【题目】如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．

(1)求证：是的切线；

(2)求证：为的内心；

(3)若，，求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

(1)连结，根据圆周角定理得到，证明，得到，根据切线的判定定理证明；

(2)连结，根据切线的性质定理得到，证明平分，根据三角形的内心的概念证明即可；

(3)根据余弦的定义求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

(1)证明：连结，

∵为的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，，

，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵为的切线，

∴，

∴，

∴是的切线；

(2)证明：连结，

∵为的切线，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分，

∵、为的切线，

∴平分，

∴为的内心；

(3)解：∵，，

∴，

∴，

在中，，

∴，，

∵，

∴，

∴.