Question

关于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：首先假设此方程有整数解，然后化5m²-6mn+7n²=2011为：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，由奇数的平方除以4余1，偶数的平方除以4余0，可得只有m-3n是奇数，然后分别从n是偶数，m是奇数与m是偶数，n是奇数去分析，推出矛盾，则可证得关于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011不存在整数解．

解答：证明：假设此方程有整数解．
化5m²-6mn+7n²=2011为：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，
又∵2011是奇数，
∴只有m-3n是奇数，
若n是偶数，则m就是奇数．
又∵奇数的平方除以8余1，偶数的平方除以8余0或4，
∴4m²+（m-3n）²-2n²除以8的余数为4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴这是一个矛盾；
∴m可能为是偶数，n就是奇数，
∵解原方程：m=

6n± 36n2-20(7n2-2011)

10

=

3n± 10055-26n2

5

①，
∵m是偶数，n是奇数，
∴10055-26n²＞0，且是个平方数，
∴n²＜387，
即n≤19，
然后将n=1，3，5，…，19代入①求解，
但无符合条件的值．
∴这也是一个矛盾．
∴原方程无整数解．

点评：此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识．解题的关键只注意掌握反证法的应用与分类讨论思想的应用．