Question

17．如图，直线l：y=x-1与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的图象交于点C，且AB=AC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P（n+1，n）（n＞1）是直线l上一点，过点P作x轴的平行线交反比例函数$y=\frac{k}{x}（x＞0）$和、$y=-\frac{k}{x}（x＜0）$的图象于M，N两点．连接MC，NA，当MC∥NA时，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l：y=x-1与x轴、y轴交于A、B两点，即可求得点A与B的坐标，又由与反比例函数$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的图象交于点C，且AB=AC，可求得点C的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）由点P（n+1，n）（n＞1）是直线l上一点，过点P作x轴的平行线交反比例函数$y=\frac{k}{x}（x＞0）$和、$y=-\frac{k}{x}（x＜0）$的图象于M，N两点，可表示出M，N两点的坐标，继而表示出PM，PN，PC，PA的长，由MC∥NA，可得$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PC}{PA}$，继而可得方程：$\frac{n+1-\frac{2}{n}}{n+1+\frac{2}{n}}$=$\frac{\sqrt{2}（n-1）}{\sqrt{2}n}$，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵y=x-1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（1，0），点B的坐标为：（0，-1），
∵AB=AC，A，B，C都在直线l上，
∴点C的坐标为（2，1），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴1=$\frac{k}{2}$，
解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵点P（n+1，n）（n＞1）是直线l上一点，过点P作x轴的平行线交反比例函数y=$\frac{2}{x}$与y=-$\frac{2}{x}$的图象于M，N两点，
∴M（$\frac{2}{n}$，n），N（-$\frac{2}{n}$，2），
∴PM=n+1-$\frac{2}{n}$，PN=n+1+$\frac{2}{n}$，PC=$\sqrt{（n+1-2）^{2}+（n-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$（n-1），PA=$\sqrt{（n+1-1）^{2}+（n-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$n，
∵MC∥NA，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PC}{PA}$，
即$\frac{n+1-\frac{2}{n}}{n+1+\frac{2}{n}}$=$\frac{\sqrt{2}（n-1）}{\sqrt{2}n}$，
整理得：n²-3n+2=0，
解得：n₁=2，n₂=1（舍去），
∴n=2．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及平行线分线段成比例定理．注意求得点C的坐标，利用两点间的距离公式表示出PM，PN，PC，PA的长是解此题的关键．