Question

1．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y=-x+3．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B、C坐标，代入抛物线解析式解方程组即可解决问题．
（2）分三种情形讨论即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，画出图形即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①$\frac{B{Q}_{1}}{BP}$=$\frac{BC}{BA}$时，△ABC∽△PBQ₁，列出方程即可解决．②当$\frac{B{Q}_{2}}{BP}$=$\frac{BA}{BC}$时，△ABC∽△Q₂BP，列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3经过B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
∵二次函数y=x²+bx+c图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=x²-4x+3．
（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴如图1所示，满足条件的点M分别为
M₁（2，7），M₂（2，2$\sqrt{5}$-1），M₃（2，$\frac{3}{2}$），M₄（2，-2$\sqrt{5}$-1）．
（3）由（1）（2）得A（1，0），BP=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，AB=2，
如图2所示，连接BP，∠CBA=∠ABP=45°，
①$\frac{B{Q}_{1}}{BP}$=$\frac{BC}{BA}$时，△ABC∽△PBQ₁，
此时，$\frac{B{Q}_{1}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BQ₁=3，
∴Q₁（0，0）．
②当$\frac{B{Q}_{2}}{BP}$=$\frac{BA}{BC}$时，△ABC∽△Q₂BP，
此时，$\frac{B{Q}_{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3\sqrt{2}}$，
∴BQ₂=$\frac{2}{3}$，
∴Q₂（$\frac{7}{3}$，0），
综上所述，存在点Q使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
点Q坐标（0，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．