Question

如图1，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD²=AE•AF成立（不要求证明）．
（1）若将弦CD向下平移至与O相切B点时，如图2，则AEAF是否等于AG²？如果不相等，请探求AE•AF等于哪两条线段的积并给出证明；
（2）当CD继续向下平移至与O相离时，如图3，在（1）中探求的结论是否还成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用切线的性质和直径所对的圆周角是直角可以得到角的关系证明△FAH∽△GAE，然后利用相似三角形的性质证明题目结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，和已知条件可以得到角的关系证明△FAH∽△GAE，然后利用相似三角形的性质就可以证明题目的结论．

解答：解：（1）∵AE，AF不等于AG²
∴AE•AF=AG•AH
连接BG，EG
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线
∴∠ABF=∠AGB=90°
∴∠BAF+∠BFA=90°
∴∠AGE+∠BGE=90°
∴∠BAF+∠BFA=∠AGE+∠BGE
∵∠BAF=∠BGE
∴∠AFH=∠AGE
又∵∠FAH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

，即AE•AF=AG•AH；

（2）（1）中探求的结论还成立．
证明：连接EG，BG
∵AB是⊙O的直径，AM⊥CD
∴∠AMF=∠AGB=90°
∴∠AFM+∠FAM=∠AGE+∠BGE=90°
∵∠FAM=∠BGE
∴∠AFM=∠AGE
又∵∠AFH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

∴AE•AF=AG•AH．

点评：此题利用了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，弦切角定理，相似三角形的性质与判定，综合性比较强．