Question

24、如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，点G在AD上．连接AE交FG于点M，连接CG并延长交AE于点N，
（1）写出图中所有与△EFM相似的三角形； 
（2）证明：EF²=FM•CD．

Answer 1

分析：（1）△CGD，△NEC，△AGM，△AGN，△GMN，△ADE都与△EFM相似，△CGD与△EFM相似，原因是由两正方形的性质得到一对直角相等，两对边长相等，进而得到三角形ADE与三角形CDG全等，得到对应角∠DAE与∠DCG相等，根据AD与EF平行，得到内错角∠DAE与∠FEN相等，根据等量代换得到∠DCG与∠FEN相等，由两对对应角相等的两三角形相似即可得证；△NEC与△EFM相似，由∠DCG与∠FEN相等，且∠CNE与∠F相等都为直角，故得证；△ADE与△EFM相似，原因是由AD与EF平行得到一对内错角相等，另加一对直角相等，故得证；△AGM与△EFM相似，∠DAE与∠FEN相等且对顶角相等即可得证；，△AGN与△EFM相似，∠DAE与∠FEN相等，∠ANG与∠F相等都为直角，即可得证；△GMN都与△EFM相似，由直角∠GNM与∠F相相等且一对对顶角相等即可得证；
（2）由（1）中得到的△EFM∽△CGD，得到对应边成比例，得到一个比例式，根据正方形的边长相等等量代换即可得证．

解答：解：（1）根据题意得：△EFM∽△CGD∽△NEC∽△AGM∽△AGN∽△GMN∽△ADE；

（2）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADE=∠CDG=90°，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又AD∥EF，∴∠DAE=∠FEN，
则∠DCG=∠FEN，
∠GCD=∠EFN=90°，
∴△EFM∽△CGD，
得比例GD：MF=CD：EF，
由正方形DEFG，得GD=EF，
则EF²=FM•CD．

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判断与性质以及相似三角形的判断与性质．考查学生应有的观察和逻辑思维能力，解决这类问题的方法一般采用“联想分析综合法”，即先“联想”发现结论，然后分析寻找，总结结论．