Question

19．感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图②，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45°，∠C=135°，试说明：DB与DC的数量关系，并说明原因．
应用：如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，DB与DC的上述关系还成立吗？并说明原因．

Answer 1

分析 探究：在图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得出DE=DF，根据∠B=45°、∠DCA=135°可求出∠DCF=∠N，结合∠F=∠DEB=90°即可证出△DCF≌△DBE（AAS），根据全等三角形的性质即可得出DC=DB；
应用：在图③中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质可得出DM=DN，由∠B+∠ACD=180°、∠ACD+∠NCD=180°、∠B＜90°可得出∠B=∠NCD，结合∠N=∠BMD=90°可证出△NCD≌△MBD，再根据全等三角形的性质即可得出DC=DB．

解答 解：探究：DC=DB，理由如下：
在图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵∠DCA=135°，
∴∠DCF=180°-∠DCA=45°=∠B．
在△DCF和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB=90°}\\{∠DCF=∠B}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DBE（AAS），
∴DC=DB．
应用：结论仍成立，理由如下：
在图③中，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵DA平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN．
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠NCD=180°，
∴∠B=∠NCD．
在△NCD和△MBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠BMD}\\{∠NCD=∠B}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△NCD≌△MBD，
∴DC=DB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．