【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点M在BC边上,且∠MDF=∠ADF。
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)如果FM=CM,求证:EM垂直平分DF.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
(1)根据AD∥BC,可得∠ADE=∠F,由E是AB的中点,可得AB=BE,从而可以证明△ADE≌△BFE;
(2)由△ADE≌△BFE,可得DE=EF,再根据∠MDF=∠ADF,AD∥BC,可以得到∠F=∠MDF ,则MF=MD,然后根据等腰三角形三线合一,可以证明结论成立.
证明:(1)∵E是AB的中点,
∴AE=BE,
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠F,
在△ADE与△BFE中
∠ADF=∠F,∠AED=∠BEF,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)∵△ADE≌△BFE,
∴DE=EF,
∵AD∥BC,∠ADF=∠F,∠GDF=∠ADF,
∴∠F=∠MDF,
∴MF=MD,
∴△MFD为等腰三角形,
∵DE=EF,
∴EM垂直平分DF.
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【题目】七年级某班为准备科技节表彰的奖品,计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件,在获知某网店有“五一”促销活动后,决定从该网店购买这些奖品.已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表,且在友谊超市购买这些奖品需花费90元.
品名商店 | 笔记本(元/件) | 水笔(元/件) |
友谊超市 | 2.4 | 2 |
网店 | 2 | 1.8 |
(1)请求出需购买笔记本和水笔的数量;
(2)求从网店购买这些奖品可节省多少元.
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【题目】给出下列说法:①射线是轴对称图形;②角的平分线是角的对称轴;③轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧;④平行四边形是轴对称图形;⑤平面上两个全等的图形一定关于某条直线对称,其中正确的说法有( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】操作:在中,,,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处,将三角板绕点旋转,三角板的两直角边分别交射线、于、两点.图,,是旋转三角板得到的图形中的种情况.
研究:
三角板绕点旋转,观察线段和之间有什么数量关系,并结合图加以证明;
三角板绕点旋转,是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出为等腰三角形时的长);若不能,请说明理由;
若将三角板的直角顶点放在斜边上的处,且,和前面一样操作,试问线段和之间有什么数量关系?并结合图加以证明.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,5)、B(﹣1,0)、C(﹣4,3).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△DEF(其中D、E、F分别是A、B、C的对应点).
(2)直接写出(1)中F点的坐标为 .
(3)若直线l经过点(0,﹣2)且与x轴平行,则点C关于直线l的对称点的坐标为 .
(4)在y轴上存在一点P,使PC﹣PB最大,则点P的坐标为 .
(5)第一象限有一点M(4,2),在x轴上找一点Q使CQ+MQ最短,画出最短路径,保留作图痕迹.
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【题目】如图,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点 为网格线的交点),以及经过格点的直线m.
(1)画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;
(2)将△DEF先向左平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度,画出平移后得到的△D1E1F1;
(3)求∠A+∠E= ________°.
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【题目】已知:在矩形中,,,四边形的三个顶点、、分别在矩形边、、上,.
如图,当四边形为正方形时,求的面积;
如图,当四边形为菱形时,设,的面积为,求关于的函数关系式,并写出函数的定义域.
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