Question

20．如图，已知平面直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）经过点（a，$\sqrt{3}$a）（a＞0）．线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上（B、C均与原点O不重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y=kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过C作CE⊥x轴，垂足为E，设P（x，y），由条件可知∠COE=60°，根据直角三角的性质可分别表示出CE和BE的长，在Rt△BCE中，可求得x²+y²的值，则可求得PO的长，可得出答案．

解答 解：∵直线y=kx（k≠0）经过点（a，$\sqrt{3}$a），
∴tan∠COB=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COB=60°，
过点C作CE⊥x轴于点E，延长CP交x轴于点F，连接OP，如图，

则∠OCE=∠CFE=30°，
设P点坐标为（x，y）（不妨设点P在第一象限，其他同理可求得），则OB=x，PB=y，
在Rt△PBF中，可得BF=$\sqrt{3}$y，
∴OF=OB+BF=x+$\sqrt{3}$y，
在Rt△OCF中，OC=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{x+\sqrt{3}y}{2}$，
在Rt△OCE中，OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{x+\sqrt{3}y}{4}$，
则CE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{3}{4}$y，BE=OB-OE=x-$\frac{x+\sqrt{3}y}{4}$=$\frac{3}{4}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得CE²+BE²=BC²，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{3}{4}$y）²+（$\frac{3}{4}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y）²=2²，
整理可求得x²+y²=$\frac{16}{3}$，
∴OP=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即O、P两点的距离为定值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有三角函数的定义、直角三角形的性质、勾股定理、两点间的距离等．解题的关键是用P点的坐标表示出OP的距离，所以用P点的坐标分别表示出CE、BE的长是突破口．注意方程思想的应用．