Question

8．如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点（不与O重合），过点P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足分别是D，E，连接DE．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：OP是线段DE的垂直平分线．

Answer 1

分析 （1）根据对称性很容易观察出哪些三角形全等，直接写出即可．
（2）先证明△OPD与△OPE全等，得出DP=EP，OD=OE，然而可得出结论．

解答 解：（1）图中全等的三角形有：
△ODP≌△OEP，△ODF≌△OEF，△DFP≌△EFP．
（2）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP，
在△ODP和△OEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOP=∠EOP}\\{∠ODP=∠OEP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴OD=OE，PD=PE，
∴OP垂直平分DE．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，难度中等．熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．