Question

3．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPN为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；
（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PN被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；
（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPN为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PN为等腰△MPN的腰时，且P为顶点；②当PN为等腰△MPN的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线过C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax²+bx-8，
由函数经过点（14，0）及对称轴为x=4可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=4}\\{196a+14b-8=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{21}}\\{b=-\frac{16}{21}}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为y=$\frac{2}{21}$x²-$\frac{16}{21}$x-8．

（2）存在直线CD垂直平分PN．
由函数解析式为y=$\frac{2}{21}$x²-$\frac{16}{21}$x-8，可求出点A坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{100}$=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，点D在函数的对称轴上，
∵线CD垂直平分PN，
∴∠PDC=∠NDC，PD=DN，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠NDC=∠ACD，
∴DN∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴点D是AB中点，
∴DN为△ABC的中位线，
∴DN=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DN=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PN被直线CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{4}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
而DN为△ABC的中位线，N是BC中点，
∴CN=$\sqrt{65}$，
∴点N的运动速度为每秒$\frac{\sqrt{65}}{5}$单位长度；

（3）存在，过点N作NH⊥x轴于H，则NH=$\frac{1}{2}$OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，
在Rt△PNH中，PN=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$，
①当MP=MN，即M为顶点，则此时CD与PN的交点即是M点（上面已经证明CD垂直平分PN），
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
因为点C（0，-8），点D（4，0），
所以可得直线CD的解析式为：y=2x-8，
当x=1时，y=-6，
∴M₁（1，-6）；
②当PN为等腰△MPN的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），因为点P坐标为（-1，0），
从而可得PM²=2²+y²，
又PN²=80，
则2²+y²=80，
即y=±2$\sqrt{19}$，
∴M₂（1，2$\sqrt{19}$），M₃（1，-2$\sqrt{19}$）；
③当PN为等腰△MPN的腰时，且N为顶点，点N坐标为（7，-4），
设直线x=1存在点M（1，y），
则NM²=6²+（y+4）²=80，
解得：y=2$\sqrt{11}$-4或-2$\sqrt{11}$-4；
∴M₄（1，-4+2$\sqrt{11}$），M₅（1，-4-2$\sqrt{11}$）．
综上所述：存在这样的五点：M₁（1，-6），M₂（1，2$\sqrt{19}$），M₃（1，-2$\sqrt{19}$），M₄（1，-4+2$\sqrt{11}$），M₅（1，-4-2$\sqrt{11}$）．

点评 此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．