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4.某农户计划利用现有的长为12米的一面墙再修四面墙,建造如图所示的长方体游泳池,培育不同品种的鱼苗,他已备足可以修高为2m,总长24m的墙的材料准备施工,设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为m,即AD=BF=BC=xm.(不考虑墙的厚度)
(1)求水池的容积V与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(2)若想水池的总容积为72m3.x应等于多少?
(3)若想使水池的总容积V最大,x应为多少?最大容积是多少?

分析 (1)这个水槽是个长方体,我们先看这个矩形的面积,有了AD、EF、BC的长,因为材料的总长度是18m,因此这个矩形的长应该是18-3x,又知道宽为x,又已知了长方体的高,因此可根据V=长×宽×高来得出函数关系式即可.
(2)和(1)类似,只需把V立方米换成72即可.
(3)此题是求二次函数的最值,可以用配方法或公式法,来求出此时x、y的值.

解答 解:(1)∵AD=EF=BC=x,
∴AB=24-3x
∴水池的总容积为V=2x(24-3x)=-6x2+48x,0<x<8

(2)令V=72,
-6x2+48x=72,
即x2-8x+12=0,解得:x=2或6,
∵当x=2时,24-3x=18>12,
∴舍去,
答:x应为6m

(3)V=-6x2+48x=-6(x-4)2+96,
∴由函数图象知:当x=4时,V有最大值96
答:若使水池的总容积最大,x应为4,最大容积为96m3

点评 本题主要考查了二次函数的应用,正确的表示出长方体的体积是解题的关键.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好.

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