Question

14．如图，△ABC中，AB=AC
（1）用直尺和圆规作出，△ABC的外接圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若BC=6$\sqrt{2}$，cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求⊙O的外接圆中劣弧BC的长．

Answer 1

分析 （1）作BC和AB的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OA为半径作图即可；
（2）过点A作AD⊥BC于D，连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，则点O为AD上，再利用特殊角的三角函数值得到∠BAC=45°，则根据圆周角定理得到∠BOC=90°，所以△BOC为等腰直角三角形，则OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=6，然后根据弧长公式可计算出⊙O的外接圆中劣弧BC的长．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）过点A作AD⊥BC于D，连接OB、OC，如图，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，
∴点O为AD上，
∵∠BOC=2∠BAC，
∵cos∠BAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
∴⊙O的外接圆中劣弧BC的长=$\frac{90•π•6}{180}$=3π．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．