Question

2．已知抛物线y=x²-（k-1）x-3k-2与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点且x₁²+x₂²=17，求k的值．

Answer 1

分析 由x₁²+x₂²=17，且x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$，然后根据根与系数的关系求出相应的k值，然后再根据x²-（k-1）x-3k-2=0有两个根，知△＞0，求出满足条件的k值，然后两者取公共部分，即可解答此题．

解答 解：∵抛物线y=x²-（k-1）x-3k-2与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点且x₁²+x₂²=17
∴x²-（k-1）x-3k-2=0有两个根
又∵x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=17
即（k-1）²-2×（-3k-2）=17
解得，k₁=-6，k₂=2
又∵抛物线y=x²-（k-1）x-3k-2与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点
∴△=（k-1）²-4×1×（-3k-2）≥0
得k≤-9且k≥-1
由上可得，k=2
故k的值为2．

点评 本题考查根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，只要梳理好它们之间的关系，应该注意的是x²-（k-1）x-3k-2=0有两个根，知△＞0，对k有限制．