Question

已知直线m的解析式为y=-

3

3

x+4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2），且△ABP的面积与△ABC的面积相等．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）求a的值．

Answer 1

分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标；
（2）先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；
（3）当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，此时OD=OA+AD=a，PD=2，由于△ABP的面积与△ABC的面积相等，故S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=32，故可求出a的值；
当点P在第二象限时，连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=32，故可得出a的值．

解答：解：（1）∵令y=0，则x=4

3

，
x=0，则y=4，
∴A（4

3

，0），B（0，4）；

（2）∵A（4

3

，0），B（0，4），
∴OA=4

3

，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

(4 3 )2+42

=8，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×8×8=32；


（3）∵点P（a，2），
∴点P在第一象限或第二象限，
当点P在第一象限时，如图1所示，
过点P作PD⊥x轴，此时OD=OA+AD=a，PD=2，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=

1

2

（2+4）×a-

1

2

×4×4

3

-

1

2

×2×（a-4

3

）=32，
解得a=16+2

3

；
当点P在第二象限时，如图2所示：
连接OP，过点P作PE⊥x轴，
此时AE=4

3

-a，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=

1

2

OB•OE+

1

2

OB•OA-

1

2

OA•PE=

1

2

×4×（-a）+

1

2

×4×4

3

-

1

2

×4

3

×2=32，
解得a=-16+2

3

．
综上所述a的值为a₁=16+2

3

，a₂=-16+2

3

．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到勾股定理、梯形的面积公式及三角形的面积公式，在解答（3）时要注意分类讨论，不要漏解．