Question

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90⁰，∠B=∠E=30⁰.

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是     ；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂。则S₁与S₂的数量关系是     。
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想。
（3）拓展探究
已知∠ABC=60⁰，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S_△DCF =S_△BDC,请直接写出相应的BF的长

Answer 1

解：（1）①DE∥AC。②。
（2）仍然成立，证明如下：
∵∠DCE=∠ACB=90⁰，∴∠DCM＋∠ACE=180⁰。
又∵∠ACN＋∠ACE=180⁰，∴∠ACN =∠DCM 。
又∵∠CAN=CMD==90⁰，AC=CD，∴△ANC≌△DMC（AAS）。∴AN=DM。
又∵CE=CB，∴。
（3）或。

（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90⁰，∠B=∠DCE=30⁰，∴∠DAC=∠CDE=60⁰。∴△ADC是等边三角形。
∴∠DCA=60⁰。∴∠DCA=∠CDE=60⁰。∴DE∥AC。
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。

由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM。
∴CF=EM。
∵∠C=90⁰，∠B =30⁰，∴AB=2AC。
又∵AD=AC，∴BD=AC。
∵，∴。
（2）通过AAS证明△ANC≌△DMC，即可得AN=DM，从而由CE=CB得到。
（3）如图所示，作DF₁∥BC交BA于点F₁，作DF₂⊥BD交BA于点F₂。F₁，F₂即为所求。
按照（1）（2）求解的方法可以计算出，。