【题目】已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点D的坐标为,点P在二次函数的图像上,∠ADP为锐角,且,请直接写出点P的横坐标;
(3)点E在x轴的正半轴上,,点O与点关于EC所在直线对称,过点O作的垂线,垂足为点N,ON与EC交于点M.若,求点E的坐标.
【答案】(1);(2)或;(3)点E的坐标为
【解析】
(1)根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴,当时,,可求点C的坐标为,根据三角形面积公式可求,进一步得到A点和B点的坐标分别为,,再用待定系数法即可求二次函数的解析式;
(2)作轴于点F.分两种情况:(ⅰ)当点P在直线AD的下方时;(ⅱ)当点P在直线AD的上方时,延长至点G使得,连接DG,作轴于点H,两种情况讨论可求点的坐标;
(3)连接,交CE于T.连接,根据三角函数的整数可得,同理,得到,从而得到点E的坐标.
(1)当x = 0时,,∴ ,
∵ ,∴ AB = 6,
又∵ 二次函数图像的对称轴是直线,
∴ ,,
∴ ,解得,
∴ 二次函数的解析式为,
(2)如图,作轴于点F.分两种情况:
(ⅰ)当点P在直线AD的下方时,如图所示,
由(1)得点,点,
∴DF=1,AF=2,
在Rt△ADF中,,,得.
延长DF与抛物线交于点,则点即为所求.
将x=-2代入抛物线解析式,得y=-4,
∴点的坐标为.
(ⅱ)当点P在直线AD的上方时,延长至点G使得,连接DG,作轴于点H,如图所示,在与中,
∴≌(AAS).
,
又,
∴点G的坐标是
在中, ,,
设DG与抛物线的交点为,则点为所求.
作于点K,作交DK于点S.
设点的坐标为,
则,
.
由,,,得.
整理,得
解得.
点在第二象限,横坐标为负,
点的横坐标为
综上,P点的横坐标为或.
(3)如图,联结,交EC于点T,联结.
∵ 点O与点关于EC所在直线对称,
∴ ⊥EC,,.
∴ ⊥
又∵ ON⊥,∴ ∥ON.
∴ .
∴ OC = OM
∴ CT = MT
在Rt△ETO中,∠ETO = 90°,.
在Rt△COE中,∠COE = 90°,.
∴
∴
同理可得
∴
∵ ,∴ OE = 8
∵ 点E在x轴的正半轴上
∴ 点E的坐标为.
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【题目】小明在海湾森林公园放风筝.如图所示,小明在A处,风筝飞到C处,此时线长BC为40米,若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米,从B处测得C处的仰角为60°,求此时风筝离地面的高度CE.(计算结果精确到0.1米,≈1.732)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中的第一象限内,反比例函数图象过点和另一动点.
(1)求此函数表达式;
(2)如果,写出的取值范围;
(3)直线与坐标轴交于点,如果,直接写出点的坐标.
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【题目】某商场在“五一”促销活动中规定,顾客每消费100元就能获得一次中奖机会.为了活跃气氛.设计了两个抽奖方案:
方案一:转动转盘一次,转出红色可领取一份奖品;
方案二:转动转盘两次,两次都转出红色可领取一份奖品.(两个转盘都被平均分成3份)
(1)若转动一次转盘,求领取一份奖品的概率;
(2)如果你获得一次抽奖机会,你会选择哪个方案?请采用列表法或树状图说明理由.
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上, 顶点C、D在圆内,将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动.当滚动一周回到原位置时,点C运动的路径长为__ _.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上异于A、B的两点,连接CD,过点C作CE⊥DB,交CD的延长线于点E,垂足为点E,直径AB与CE的延长线相交于点F.
(1)连接AC,AD,求证:∠DAC+∠ACF=180°;
(2)若∠ABD=2∠BDC,
①求证:CF是⊙O的切线;
②当BD=6,tanF=时,求CF的长.
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【题目】为了求1+2+22+23+…+22016+22017的值,
可令S=1+2+22+23+…+22016+22017,
则2S=2+22+23+24+…+22017+22018,
因此2S﹣S=22018﹣1,
所以1+22+23+…+22017=22018﹣1.
请你仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52017的值是_____.
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【题目】在平面直角坐标系,直线与y轴交于点A,与双曲线交于点.
(1)求点B的坐标及k的值;
(2)将直线AB平移,使它与x轴交于点C,与y轴交于点D,若的面积为6,求直线CD的表达式.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1.对角线AC、BD相交于点O,P是BC延长线上的一点,AP交BD于点E,交CD于点H,OP交CD于点F,且EF与AC平行.
(1)求证:EF⊥BD.
(2)求证:四边形ACPD为平行四边形.
(3)求OF的长度.
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