Question

抛物线y=

1

2

x2+x-

3

2

与x轴交于A、B两点，抛物线顶点为M点，过M点作MD⊥x轴于D点，x轴上有一点C（-2，0），
（1）直接写出A、B两点坐标：A（

 

，

 

），B（

 

，

 

），并求出直线CM的解析式；
（2）抛物线上有一点P，设P点横坐标为m，且-3＜m＜-1，若S△PCM=

3

4

S△PMD，则求出P点的坐标；
（3）抛物线上有一点Q，若∠QMC与∠CMD互余或相等，则求出MQ的直线解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的交点式可得A（-3，0），B（1，0），根据抛物线的顶点式可得M点的坐标为（-1，-2），根据待定系数法可得直线CM的解析式；
（2）令P（m，

1

2

m²+m-

3

2

），过P点作PH⊥x轴交CM于H点，则H（m，-2m-4），根据S_△PCM=

3

4

S_△PMD，可得方程求解即可；
（3）分两种情况：①若∠QMC与∠CMD相等，则Q点位于对称轴左侧；②若∠QMC与∠CMD互余，则Q点位于对称轴右侧，QM与x轴交于N点；进行讨论可得直线MQ的解析式为y=-

3

4

x-

11

4

或y=

4

3

x-

2

3

．

解答：解：（1）A（-3，0），B（1，0）
令x=-1，则y=-2，即M点的坐标为（-1，-2），
设CM的解析式为y=kx+b，则

-2k+b=0 -k+b=-2

，
解得：

k=-2 b=-4

，即y=-2x-4．
故答案为：-3，0；1，0；

（2）令P（m，

1

2

m²+m-

3

2

），
如图1，过P点作PH⊥x轴交CM于H点，则H（m，-2m-4），
PH=2m-4-

1

2

m²-m+

3

2

，
∴S_△PCM=

1

2

PH•1=

1

2

（-

1

2

m²-3m-

5

2

），
S_△PMD=

1

2

•2•（-1-m）=-1-m，
若S_△PCM=

3

4

S_△PMD，则

1

2

（-

1

2

m²-3m-

5

2

）=

3

4

（-1-m），
解得：m₁=-1（舍），m₂=-2，
则P（-2，-

3

2

）

（3）①若∠QMC与∠CMD相等，则Q点位于对称轴左侧，
如图2，作D点关于CM的对称点D'，CD=1，DD′=

4 5

5

，
作D'E⊥x轴，D′E=

4

5

，DE=

8

5

，D'（-

13

5

，-

4

5

），
直线D'M的解析式为：y=-

3

4

x-

11

4

②若∠QMC与∠CMD互余，则Q点位于对称轴右侧，QM与x轴交于N点，
此时∠NMC=∠MCN，MN=NC，设N（n，0），则（n+2）²=（n+1）²+4，
解得：n=

1

2

，N（

1

2

，0），直线MN的解析式为：y=

4

3

x-

2

3

，
综上，直线MQ的解析式为y=-

3

4

x-

11

4

或y=

4

3

x-

2

3

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，抛物线的顶点式，待定系数法求直线的解析式，三角形面积计算，方程思想，以及分类思想，综合性较强，有一定的难度．