Question

4．下列各图形都是由同样大小的圆和正三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形由8个圆和1个正三角形组成，第②个图形由16个圆和4个正三角形组成，第③个图形由24个圆和9个正三角形组成，…则第8个图形中圆和正三角形的个数相等．

Answer 1

分析 由第①个图形由3×4-4=8个圆和1个正三角形组成，第②个图形由5×4-4=16个圆和2²=4个正三角形组成，第③个图形由7×4-4=24个圆和3²=9个正三角形组成，…所以第n个图形由（2n+1）×4-4=8n个圆和n²个正三角形组成，由此联立方程解决问题．

解答 解：第①个图形由3×4-4=8个圆和1个正三角形组成，
第②个图形由5×4-4=16个圆和2²=4个正三角形组成，
第③个图形由7×4-4=24个圆和3²=9个正三角形组成，
…
所以第n个图形由（2n+1）×4-4=8n个圆和n²个正三角形组成，
∵圆和正三角形的个数相等，
∴8n=n²，
解得n=8，或n=0（不合题意，舍去）．
故答案为：8．

点评 本题是对图形变化规律的考查，分三角形与圆两部分分别找出个数变化规律是解题的关键．