Question

16．x分别取2012，2011时，…，2，1，$\frac{1}{2}$，…，$\frac{1}{2011}$，$\frac{1}{2012}$时，求代数式$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的所有值的和为多少？

Answer 1

分析 通过计算得出$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=0，结合该规律即可得出结论．

解答 解：∵$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}}{\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=0，
∴$\frac{1-201{2}^{2}}{1+201{2}^{2}}$+$\frac{1-201{1}^{2}}{1+201{1}^{2}}$+…+$\frac{1-{2}^{2}}{1+{2}^{2}}$+$\frac{1-{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$+…+$\frac{1-（\frac{1}{2011}）^{2}}{1+（\frac{1}{2011}）^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{2012}）^{2}}{1+（\frac{1}{2012}）^{2}}$，
=（$\frac{1-201{2}^{2}}{1+201{2}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{2012}）^{2}}{1+（\frac{1}{2012}）^{2}}$）+（$\frac{1-201{1}^{2}}{1+201{1}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{2011}）^{2}}{1+（\frac{1}{2011}）^{2}}$）+…+（$\frac{1-{2}^{2}}{1+{2}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$）+$\frac{1-{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$，
=0．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出规律“$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1-（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=0”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过计算得出规律是关键．