Question

如图，在反比例函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，P₄…P_n（n为正整数，且n≥1），它们的横坐标依次为1，2，3，4…n（n为正整数，且n≥1）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃…S_n-1（n为正整数，且n≥2），那么S₁+S₂+S₃=

 

，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n-1=

 

．（用含有n的代数式表示）．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：规律型

分析：求出P₁、P₂、P₃、P₄…的纵坐标，从而可计算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，进而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，从而得出S₁+S₂+S₃及S₁+S₂+S₃+…+S_n-1的值．

解答：解：当x=1时，P₁的纵坐标为4，
当x=2时，P₂的纵坐标为2，
当x=3时，P₃的纵坐标为

4

3

，
当x=4时，P₄的纵坐标为1，
当x=5时，P₅的纵坐标为

4

5

，
…
则S₁=

1

2

×1×（4-2）=1=2-1；
S₂=

1

2

×1×（2-

4

3

）=

1

3

=1-

2

3

；
S₃=

1

2

×1×（

4

3

-1）=

1

6

=

2

3

-

2

4

；
∴S₁+S₂+S₃=2-1+1-

2

3

+

2

3

-

2

4

=2-

2

4

=

3

2

；
S₄=

1

2

×1×（1-

4

5

）=

1

10

=

2

4

-

2

5

；
…
S_n-1=

2

n-1

-

2

n

；
∴S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n-1
=2-1+1-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n-1

-

2

n

=2-

2

n

．
故答案为

3

2

；2-

2

n

．

点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．