Question

如图所示，BF是半圆O的直径，△ABC内接于圆，过A点作AE⊥BF于E交BC于D．求证：=BD·BC．

Answer 1

答案：略
解析：

证法一：连接AF． ∵∠BAF=90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE=∠F．∵∠C=∠F． ∴∠BAD=∠C．∵∠ABD是公用角，∴△BAD∽△BCA． ∴AB∶BD=BC∶AB．∴=BD·BC． 证法二：连接AF、CF． ∵BF是直径，∴∠BAF=90°，∠BCF=90°． ∵AE⊥BF，∴∠BED=90°．∵∠DBE公用，∴△BDE∽△BFC．∴BD·BF=BE·BF． ∵∠BAF=90°，∠AEB=90°，∴=BE·BF． ∴=BD·BC．

提示：

所证的结论中，AB是△ABC的一边，而BD是因为AE⊥BF与BC相交得到的．这时若能证明△BAD△BCA，则结论就成立．从图中可观察到∠ABD是公共角，故需要证明∠BAD=∠C或∠BDA=∠BAC即可．这其中∠C是圆周角，而∠BAD不是，若能把它化为圆周角，则可证明结论成立．因∠BAD是直角三角形，所以需要找一个既在直角三角形中又是圆周角的角，考虑到BF是直径，若连接AF，则我们考虑的两点都可以实现．