【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x经过原点O,且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标;
(2)求证:∠ABC=90°;
(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,
∴抛物线顶点坐标A(1,1),
联立抛物线与直线解析式可得 ,解得 或 ,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)
证明:
由(1)可知B(2,0),C(﹣1,﹣3),A(1,1),
∴AB2=(1﹣2)2+12=2,BC2=(﹣1﹣2)2+(﹣3)2=18,AC2=(﹣1﹣1)2+(﹣3﹣1)2=20,
∴AC2=AB2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠ABC=90°;
(3)
解:如图,过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,
设P(t,﹣t2+2t),则G(t,t﹣2),
∵点P在直线BC上方,
∴PG=﹣t2+2t﹣(t﹣2)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣ )2+ ,
∴S△PBC=S△PGB+S△PGC= PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣ (t﹣ )2+ ,
∵﹣ <0,
∴当t= 时,S△PBC有最大值,此时P点坐标为( , ),
即存在满足条件的点P,其坐标为( , );
(4)
解:∵∠ABC=∠ONM=90°,
∴当△OMN和△ABC相似时,有 = 或 = ,
设N(m,0),
∵MN⊥x轴,
∴M(m,﹣m2+2m),
∴MN=|﹣m2+2m|,ON=|m|,
①当 = 时,即 = ,解得m=5或m=﹣1或m=0(舍去);
②当 = 时,即 = ,解得m= 或m= 或m=0(舍去);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(5,0)或(﹣1,0)或( ,0)或( ,0).
【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标,联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标;(2)由A、B、C的坐标可求得AB2、BC2和AC2 , 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形;(3)过点P作PG∥y轴,交直线BC于点G,设出P点坐标,则可表示出G点坐标,从而可表示出PG的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标;(4)设出M、N的坐标,则可表示出MN和ON的长度,由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标.
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【题目】如图,以AB为直径的⊙O是△ADC的外接圆,过点O作PO⊥AB,交AC于点E,PC的延长线交AB的延长线于点F,∠PEC=∠PCE.
(1)求证:FC为⊙O的切线;
(2)若△ADC是边长为a的等边三角形,求AB的长.(用含a的代数式表示)
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【题目】一副含 和 角的三角板 和 叠合在一起,边 与 重合, (如图1),点 为边 的中点,边 与 相交于点 .现将三角板 绕点 按顺时针方向旋转(如图2),在 从 到 的变化过程中,点 相应移动的路径长为 . (结果保留根号)
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【题目】如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足为D.
(1)求证:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:①求O的半径;②求tan∠BAE的值.
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【题目】如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别作BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,已知OE=OF,CE=AF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若OA= BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请说明理由.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A(x1 , 0)、B(x2 , 0)两点,且x1<x2 , 与y轴交于点C(0,﹣4),其中x1 , x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
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【题目】已知,如图①,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P为线段BC上的一动点(不运动到C,B两点)过点P作PQ⊥BC交AB于点Q,在AC边上取一点D,使QD=QP,连结DP,设CP=x
(1)求QP的长,用含x的代数式表示.
(2)当x为何值时,△DPQ为直角三角形?
(3)记点D关于直线PQ的对称点为点D′.
①当点D′落在AB边上时,求x的值;
②在①的条件下,如图②,将此时的△DPQ绕点P顺时针旋转一个角度α(0°<α<∠DPB),在旋转过程中,设DP所在的直线与直线AB交于点M,与直线AC交于点N,是否存在这样的M,N两点,使△AMN为等腰三角形?若存在,求出此时AN的长;若不存在,请说明理由.
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