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P、Q二人沿直角梯形ABCD道路晨练,如图,AD∥BC,∠B=90°,AD=240m,BC=270m,P从点A开始沿AD边向点D以1m/s的速度行走,Q从点C开始沿CB边向点B以3m/s的速度跑步.
(1)P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,四边形PQCD(P、Q二人所在的位置为P、Q点)是平行四边形?
(2)添加一个什么条件时,P、Q二人分别从A、C两点同时出发,在某时刻四边形PQCD是菱形?说明理由.
(3)P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,四边形PQCD是等腰梯形?
(4)若添加AB=50m,P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,△BPQ为等腰三角形?(第4小题只要求写出答案即可.)

【答案】分析:(1)设同时出发t秒后四边形PQCD为平行四边形.根据平行四边形的对边相等,列方程求解;
(2)结合菱形的性质和(1)的结论即可求解;
(3)作PE⊥BC垂足为E,作DF⊥BC垂足为F.根据矩形的性质和等腰梯形的性质得到关于t的方程即可计算;
(4)此题应考虑PB=BQ或PB=PQ或PQ=BQ.
当PB=PQ时,作PS⊥BQ于S,根据等腰三角形的三线合一,得270-3t=2t,t=54;
当PB=BQ时,根据勾股定理列方程,得+t2=(270-3t)2,t=192.5(舍去),t=10;
当PQ=BQ时,根据勾股定理列方程,得+(270-4t)2=(270-3t)2,此方程无实数根.
解答:解:设同时出发t秒后四边形PQCD为平行四边形.
(1)当四边形PQCD为平行四边形时,有PD=CQ,
即240-t=3t,
t=60.

(2)添加的条件是:DC=180m.
∵四边形PQCD为菱形,
∴CD=DP=CQ=PQ.
当DP=CQ时,由(1)的计算可知t=60秒,
∴CD=DP=240-t=240-60=180.
故添加条件:CD=180m即可.

(3)当四边形PQCD为等腰梯形时,作PE⊥BC垂足为E,作DF⊥BC垂足为F.

∵四边形ABCD为直角梯形,且∠B=90°DF⊥BC,易证ABFD为矩形.
∴BE=AP.
∴CF=BC-BF=BC-AD=270-240=30.
又四边形PQCD为等腰梯形,PE⊥BC,DF⊥BC,
∴QE=CF=30.
又CQ-QE-CF=EF,
故3t-30-30=240-t,
t=75.


(4)当t=54秒或t=10秒时,△BPQ是等腰三角形.
点评:此题考查了平行四边形的性质以及判定、菱形的性质以及判定、等腰三角形的判定.
熟练运用勾股定理进行计算.
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(2)添加一个什么条件时,P、Q二人分别从A、C两点同时出发,在某时刻四边形PQCD是菱形?说明理由.
(3)P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,四边形PQCD是等腰梯形?
(4)若添加AB=50
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(3)P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,四边形PQCD是等腰梯形?
(4)若添加AB=50数学公式m,P、Q二人分别从A、C两点同时出发多少时间时,△BPQ为等腰三角形?(第4小题只要求写出答案即可.)

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