Question

12．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC、BD于点F、Q，若BF=2，则PE的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在直角△BFQ中，利用三角函数即可求得BQ的长，则BP的长即可求得，然后在直角△BPE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得PE的长．

解答 解：∵△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，
∴∠FBQ=∠EBP=30°，
∴在直角△BFQ中，BQ=BF•cos∠FBQ=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
又∵QF是BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2$\sqrt{3}$，
∵直角△BPE中，∠EBP=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$BP=$\sqrt{3}$．
故答案是：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形的性质和三角函数，正确求得BQ的长是关键．