Question

18．△ABC中，∠C=60°，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，AD与BE相交于O点．
（1）如图1，若∠ABC=∠BAC=60°，则∠AOB=120°，AE+BD=AB；
（2）如图2，若∠ABC=90°，线段AE、BD与AB之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图3，若∠ABC与∠BAC是任意角度，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质直接求出即可；
（2）先用角平分线的性质定理得出OH=OF，再用HL判断出Rt△AOH≌Rt△AOF，利用三角形的外角得出∠OEF=∠ODG，进而得出△OEF≌△ODG，得出EF=DG，即可；
（3）先用角平分线的性质定理得出OH=OF，再用HL判断出Rt△AOH≌Rt△AOF，利用三角形的外角和三角形的内角和得出∠OEF=∠ODG，进而得出△OEF≌△ODG，得出EF=DG，即可；

解答 解：（1）∠ABC=∠BAC=60°，∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AB=BC，
∵AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，AD与BE相交于O点．
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠AOB=180°-∠ABE-∠BAD=120°，
∵AD，BE是等边三角形ABC的角平分线，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE+BD=AB，
故答案为：120°，=；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴OH=OF，
在Rt△AOH和Rt△AOF中$\left\{\begin{array}{l}{OH=OF}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AF=AH，
同理可得，BH=BG，OH=OG，
∴OF=OG，
∵AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，AD与BE相交于O点．
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵∠OEF=∠ABE+∠BAE=75°，∠ODG=∠CAD+∠ACB=75°，
∴∠OEF=∠ODG，
在△OEF和△ODG中$\left\{\begin{array}{l}{∠OEF=∠ODG}\\{∠OFE=∠OGD}\\{OF=OG}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△ODG．
∴EF=DG，
∴AE+BD=AF-EF+BG+DG=AH-DG+BH+DG=AH+BH=AB；
（3）如图3，过点O作OH⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，
同（2）的方法得出OH=OF=OG，AF=AH，BH=BG，
∵AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，AD与BE相交于O点．
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∴∠BAC=120°-∠ABC
∴∠OEF=∠ABE+∠BAE=$\frac{1}{2}$∠ABC+120°-∠ABC=120°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠ODG=∠CAD+∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAC+60°=$\frac{1}{2}$（120°-∠ABC）+60°=120°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OEF=∠ODG，
在△OEF和△ODG中$\left\{\begin{array}{l}{∠OEF=∠ODG}\\{∠OFE=∠OGD}\\{OF=OG}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△ODG．
∴EF=DG，
∴AE+BD=AF-EF+BG+DG=AH-DG+BH+DG=AH+BH=AB；

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的外角和三角形的内角和定理，解本题的关键是∠OEF=∠ODG．