Question

在锐角三角形ABC中，AB=4

3

，∠BAC=60°，∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB上动点，则BM+MN的最小值是

6

．

Answer 1

分析：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，求出BM+MN=EN，求出EN，即可求出答案．

解答：解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分线（三线合一定理），
∴E和B关于直线AD对称，
∴EM=BM，
即BM+MN=EM+MN=EN，
∵EN⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN=30°，
∵AE=AB=4

3

，
∴AN=

1

2

AE=2

3

，
在△AEN中，由勾股定理得：EN=

(4 3 )2-(2 3 )2

=6，
即BM+MN的最小值是6．
故答案为：6．

点评：本题考查了垂线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，轴对称性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．