Question

如图，已知在半径为2的⊙O中有一点E，过点E的弦AB与CD互相垂直，且OE=1，
（1）求AB²+CD²的值；
（2）求证：AE²+CE²+EB²+ED²为定值；
（3）求证：AC²+BC²+BD²+AD²为定值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理，求得OM²+ON²，然后求得AB²+CD²的值；
（2）如图，过点E作直径PH，则EP•EH=EA•EB（相交弦定理），由代数式的变形得到：
AE²+CE²+EB²+ED²=（AE+BE）²-2AE•BE+（CE+DE）²-2CE•DE=AB²+CD²-4AE•EB=28-4AE•EB=16；
（3）如图，连接AC、BC、AD、BD．根据勾股定理得到：AC²+BC²+BD²+AD²=2（AE²+BE²）+2（DE²+EC²），把（1）的结果代入得到定值32．

解答：解：（1）连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（

DC

2

）2；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（

AB

2

）2，
∴OM²+ON²=4-（

AB

2

）2+4-（

DC

2

）2=1，
∴AB²+CD²=28；

（2）AE²+CE²+EB²+ED²=（AE+BE）²-2AE•BE+（CE+DE）²-2CE•DE=AB²+CD²-4AE•EB=28-4AE•EB．
如图，过点E作直径PH，则EP•EH=EA•EB，
∵EP•EH=（2-OE）（2+OE）=1×3=3
∴AE²+CE²+EB²+ED²=28-4×3=16，即AE²+CE²+EB²+ED²为定值16；

（3）如图，连接AC、BC、AD、BD．
AC²+BC²+BD²+AD²
=2（AE²+BE²）+2（DE²+EC²）
=2×16
=32
即AC²+BC²+BD²+AD²为定值32．

点评：本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB²+CD²联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．