Question

如图，△ABC在第一象限，其面积为16．点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C-A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：轨迹

专题：

分析：设M点对应的A，B，C的点分别为M_a，M_b，M_c，由△M_bQ_bB是等边三角形，得出M_bO=

3

OB，同理得出M_bO=

3

OB，又因∠COB=∠M_cOM_b，得出△M_cOM_b∽△COB，得出M_bM_c=

3

BC，同理证得M_aM_b=

3

AB，M_aM_c=

3

AC，所以△M_aM_bM_c的面积是△ABC的3倍．求出点M随点P运动所形成的图形的面积为48．

解答：
解：如图，
∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C-A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，
∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，
以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为M_a，M_b，M_c，
∵△M_bQ_bB是等边三角形，
∴M_bO=

3

OB，
同理M_cO=

3

OC，
∴

MbO

BO

=

McO

CO

=

3

∵∠COB+∠BOM_c=90°，∠M_cOM_b+∠BOM_c=90°
∴∠COB=∠M_cOM_b，
∴△M_cOM_b∽△COB，
∴M_bM_c=

3

BC，
同理，M_aM_b=

3

AB，M_aM_c=

3

AC，
∴△M_aM_bM_c的面积=

3

×

3

×16=48，
即点M随点P运动所形成的图形的面积为48．
故答案为：48．

点评：本题主要考查了轨迹，解题的关键是找出△M_aM_bM_c与△ABC边长的关系．