Question

8．（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规，按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分，交BC于点O；
②以O为圆心，OC为半径作圆．
（2）在你所作的图中，
①AB与⊙O的位置关系是相切；（直接写出答案）
②若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先作基本图形（作一个角的平分线）得到点O，然后作⊙O；
（2）①作OD⊥AB于D，根据角平分线性质可得OD=OC，则可根据切线的判定定理得到AB为⊙O的切线；
②设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•10•r+$\frac{1}{2}$•6•r=$\frac{1}{2}$•6•8，然后解方程即可．

解答 解：（1）如图；
（2）①作OD⊥AB于D，
∵AO平分∠BAC，
而OD⊥AB，OC⊥AC，
∴OD=OC，
∴AB为⊙O的切线；
故答案为相切；
②设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵S_△AOB+S_△AOC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•10•r+$\frac{1}{2}$•6•r=$\frac{1}{2}$•6•8，解得r=3，
即⊙O的半径为3．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．